חפיפת משולשים: 4 עקרונות שכדאי להכיר

הרבה תלמידים בחטיבת הביניים מתקשים עם חפיפת משולשים. הם מסתכלים על שני משולשים ורואים שהם זהים, אבל לא יודעים איך לכתוב את זה בהוכחה. זה מרגיש מסובך ומבלבל.

הבעיה היא שיש פער בין מה שאנחנו רואים בעיניים למה שצריך לכתוב בהוכחה. כדי לפתור את זה, צריך ללמוד לפרק את המשולש לחלקים קטנים - צלעות וזוויות - ולהבין מה הקשר ביניהם.

הנה 4 כללים פשוטים שיעזרו לכם להבין את הנושא.

1. כלל החיבור: שלם = סכום החלקים

הכלל הכי בסיסי בגיאומטריה הוא שאפשר לחבר חלקים כדי לקבל שלם. אבל יש תנאי חשוב: הנקודות חייבות להיות על קו ישר אחד.

הכלל עובד גם לקטעים וגם לזוויות:

1. חיבור: חלק ראשון + חלק שני = השלם
2. חיסור: השלם - חלק ראשון = חלק שני

איך ללמד את זה: תתחילו עם משהו מוחשי - עפרונות או רצועות נייר. תראו איך שני עפרונות ביחד יוצרים קו ארוך יותר. רק אחרי זה תעברו לכתוב: $AB + BC = AC$.

2. זיהוי דברים משותפים (צלע או זווית משותפת)

לפעמים בתרגיל יש משהו שמשותף לשני המשולשים, אבל זה לא כתוב במפורש. הקושי הוא להבין שאותו דבר יכול להיות חלק משני משולשים בו-זמנית.

יש שלושה מצבים עיקריים:

1. צלע משותפת: צלע שמפרידה בין שני משולשים שנוגעים זה בזה. כותבים: $AD = AD$ (צלע משותפת).
2. קטע משותף: חלק מקו ישר שנמצא בתוך שני קטעים ארוכים יותר.
3. זווית משותפת: זווית שנמצאת בתוך שתי זוויות גדולות יותר.

3. מתי מחסרים ומתי מוסיפים

טעות נפוצה היא לחסר זוויות או קטעים בלי סיבה טובה. הכלל החשוב: אפשר לחסר רק כשמחסרים דברים שווים מתוך דברים שווים.

יש שני מצבים:

מצב א’: חיסור (למצוא מה נשאר) כשיש שני דברים שלמים שווים, ובתוך שניהם יש חלק משותף זהה.

• הלוגיקה: אם $A = B$ ויש חלק משותף $x$, אז $A - x = B - x$. מה שנשאר שווה.

מצב ב’: חיבור (לבנות את השלם) כשיש חלקים חיצוניים שווים, וצריך להוכיח שהשלם הגדול שווה.

• הלוגיקה: מוסיפים את החלק המשותף לשני הצדדים כדי לבנות את השלם.

4. תשתמשו בצבעים כדי לא להתבלבל

הקושי הכי גדול הוא לראות מה קורה בשרטוט. השימוש בצבעים עוזר מאוד - הוא מפריד את המידע ועוזר לזהות את החלקים השונים.

איך עושים את זה: במקום לנסות לדמיין, קחו טושים וצבעו:

1. צלע/זווית של משולש א’ בצבע אחד (למשל, כחול)
2. צלע/זווית של משולש ב’ בצבע שני (למשל, אדום)
3. החלק המשותף בצבע שלישי או בשני הצבעים ביחד

אחרי הצביעה תראו מיד אם צריך לחבר או לחסר, וזה יעזור לכם לכתוב את ההוכחה.

---

לסיכום

כדי ללמוד חפיפת משולשים, צריך להתקדם בשלבים:

1. להתחיל עם דברים מוחשיים (עפרונות, נייר)
2. לעבור לסימון בצבעים על השרטוט
3. בסוף לכתוב את ההוכחה עם סימנים מתמטיים

ההבנה של החיבור, החיסור והדברים המשותפים תעזור לכם לפתור כל בעיה.

תרגול:

• דף עבודה 1: איך מזהים דברים משותפים >>

• דף עבודה 2: מתי מחברים ומתי מחסרים >>

• דף עבודה 3: איך מחברים דברים משותפים >>

• דף עבודה 4: איך מחברים דברים משותפים >>